add _static
This commit is contained in:
180
storage/zeta/_static/13172.html
Normal file
180
storage/zeta/_static/13172.html
Normal file
@@ -0,0 +1,180 @@
|
||||
<!DOCTYPE html>
|
||||
<html lang="ko">
|
||||
<head>
|
||||
<meta charset="UTF-8" />
|
||||
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0" />
|
||||
<title>BOJ 13172 - Offline</title>
|
||||
<style>
|
||||
:root {
|
||||
--bg: #fafaf8;
|
||||
--paper: #ffffff;
|
||||
--ink: #1e1f24;
|
||||
--muted: #6a6d75;
|
||||
--line: #d8dce3;
|
||||
--accent: #0d6e6e;
|
||||
--code-bg: #f4f6fb;
|
||||
}
|
||||
* { box-sizing: border-box; }
|
||||
body {
|
||||
margin: 0;
|
||||
background:
|
||||
radial-gradient(circle at 15% 0%, #f0efe9 0%, transparent 42%),
|
||||
radial-gradient(circle at 85% 20%, #e7f1f2 0%, transparent 38%),
|
||||
var(--bg);
|
||||
color: var(--ink);
|
||||
font-family: "Noto Sans KR", "Pretendard", "Apple SD Gothic Neo", sans-serif;
|
||||
line-height: 1.65;
|
||||
}
|
||||
main {
|
||||
max-width: 980px;
|
||||
margin: 0 auto;
|
||||
padding: 24px 16px 56px;
|
||||
}
|
||||
.header {
|
||||
background: var(--paper);
|
||||
border: 1px solid var(--line);
|
||||
border-radius: 14px;
|
||||
padding: 18px 20px;
|
||||
margin-bottom: 18px;
|
||||
}
|
||||
.header h1 { margin: 0 0 6px; font-size: 1.5rem; }
|
||||
.header p { margin: 0; color: var(--muted); font-size: 0.95rem; }
|
||||
.header a { color: var(--accent); text-decoration: none; }
|
||||
.section {
|
||||
background: var(--paper);
|
||||
border: 1px solid var(--line);
|
||||
border-radius: 14px;
|
||||
padding: 16px 18px;
|
||||
margin-bottom: 14px;
|
||||
overflow-x: auto;
|
||||
}
|
||||
h2 {
|
||||
margin: 0 0 10px;
|
||||
font-size: 1.05rem;
|
||||
color: var(--accent);
|
||||
border-bottom: 1px solid var(--line);
|
||||
padding-bottom: 8px;
|
||||
}
|
||||
pre, code {
|
||||
font-family: "JetBrains Mono", "Fira Code", monospace;
|
||||
background: var(--code-bg);
|
||||
}
|
||||
pre {
|
||||
padding: 12px;
|
||||
border-radius: 10px;
|
||||
border: 1px solid #e7ebf2;
|
||||
overflow: auto;
|
||||
}
|
||||
blockquote {
|
||||
margin: 14px 0;
|
||||
padding: 16px 16px 14px 22px;
|
||||
border-left: 4px solid var(--accent);
|
||||
border-radius: 10px;
|
||||
background: linear-gradient(90deg, #eef8f8 0%, #f9fdfd 100%);
|
||||
color: #24313a;
|
||||
font-weight: 600;
|
||||
position: relative;
|
||||
}
|
||||
blockquote::before {
|
||||
content: "“";
|
||||
position: absolute;
|
||||
left: 8px;
|
||||
top: 2px;
|
||||
font-size: 1.35rem;
|
||||
line-height: 1;
|
||||
color: #0b5f5f;
|
||||
opacity: 0.7;
|
||||
}
|
||||
blockquote > :first-child { margin-top: 0; }
|
||||
blockquote > :last-child { margin-bottom: 0; }
|
||||
q {
|
||||
color: #114f50;
|
||||
font-weight: 700;
|
||||
background: #edf8f8;
|
||||
border-radius: 6px;
|
||||
padding: 0 4px;
|
||||
}
|
||||
.math-inline math {
|
||||
font-size: 1em;
|
||||
vertical-align: middle;
|
||||
}
|
||||
.math-block {
|
||||
margin: 10px 0;
|
||||
padding: 8px 10px;
|
||||
overflow-x: auto;
|
||||
background: #f8fbff;
|
||||
border: 1px solid #e2ecf8;
|
||||
border-radius: 8px;
|
||||
}
|
||||
.math-block math {
|
||||
font-size: 1.04em;
|
||||
display: block;
|
||||
}
|
||||
table { border-collapse: collapse; width: 100%; }
|
||||
th, td { border: 1px solid var(--line); padding: 6px 8px; }
|
||||
img { max-width: 100%; height: auto; }
|
||||
</style>
|
||||
</head>
|
||||
<body>
|
||||
<main>
|
||||
<header class="header">
|
||||
<h1>Σ</h1>
|
||||
</header>
|
||||
<article class="section">
|
||||
<h2>문제</h2>
|
||||
<p>실제로 존재하는지 아닌지는 차치하고, 당신에게 삼면체 주사위가 있어서 이 주사위를 굴린다고 생각해보자. 주사위를 굴렸을 때 각 면이 나올 확률은 모두 동일하게 1/3 이다. 한 면에는 1, 다른 한 면에는 2, 남은 한 면에는 4가 적혀있다고 하면 주사위를 굴렸을 때 나오게 되는 숫자의 기댓값은 과연 몇일까? 간단하게도 셋의 평균인 7/3이 될 것이다.</p>
|
||||
|
||||
<p>이 문제를 조금 확장해서, "N면체 주사위의 각 면에 적힌 수가 주어졌을 때, 주사위를 굴렸을 때 각 면이 나올 확률이 모두 같다면 주사위를 굴렸을 때 나오게 되는 수의 기댓값은 과연 몇일까?"라는 문제가 주어졌다고 하자. 위의 예시에 대한 답을 소수로 출력한다면 2.33333333...일텐데, 무한한 자릿수를 모두 출력할 수는 없으니 적당히 끊어서 출력할 것이고, 이 끊긴 소수를 채점 프로그램이 다시 입력받아서 정답과 비교한다고 하면 결과가 얼마나 부정확할 것인가? 그렇기에 답을 정확히 판별하기 위해 출력하고자 하는 분수를 <a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EC%95%BD%EB%B6%84%EC%88%98">기약분수</a>로 만들어 분모와 분자를 직접 출력하도록 했던 시기가 있었다.</p>
|
||||
|
||||
<p>이제 문제를 조금 더 확장하여, M개의 주사위가 있어서 이 중 i번째 주사위가 N<sub>i</sub>면체 주사위이고 모든 면에 적힌 수를 더한 값이 S<sub>i</sub>일 때, 각 주사위에 대해서 주사위를 던졌을 때 주사위의 각 면이 나올 확률이 동일하다고 가정한 상태에서 모든 주사위를 각각 한 번씩 던졌을 때 나온 수들의 합의 기댓값을 구하는 문제를 만들었다. 확률변수 X의 기댓값을 E(X)로 나타내면, 기댓값의 선형성에 의해서 두 확률변수 X, Y에 대해 E(X + Y) = E(X) + E(Y)가 성립하므로, 이 문제의 답을 아래와 같이 간단하게 나타낼 수 있다.</p>
|
||||
|
||||
<p style="text-align: center;">S<sub>1</sub>/N<sub>1</sub> + S<sub>2</sub>/N<sub>2</sub> + ... + S<sub>M</sub>/N<sub>M</sub></p>
|
||||
|
||||
<p>즉, 각 주사위에서 나오게 되는 수의 기댓값을 모두 더하면 답이 되는 것이다. 이 답을 정확하게 출력하기 위해, 모든 분수(여기서는 각 주사위의 기댓값)를 통분한다고 생각해보자. 이 분수의 분모와 분자의 값이 어떤 범위까지 치솟게 될 것인가? 즉, 분모와 분자를 모두 저장하고 있게 되면, 두 분수의 합을 구할 때 분모와 분자를 적정한 범위 내에서 계산해낼 수 없다는 문제에 부딪히게 된다. "그렇다면 분모와 분자를 어떤 모듈러 상에서 가지고 있으면 되지 않을까?"라고 생각할 수 있지만, 그러면 분모와 분자를 약분할 수가 없게 된다. 그렇기에, 분수를 다음과 같이 모듈러 상에서 하나의 정수로 가지고 있는 방법을 채택하게 되었다.</p>
|
||||
|
||||
<p>어떤 분수가 기약분수로 나타냈을 때 a/b이면, 이 분수는 a × b<sup>-1</sup> mod X (X는 소수)으로 대신 계산하도록 한다. 여기서 b<sup>-1</sup>은 b의 모듈러 곱셈에 대한 역원이다.</p>
|
||||
|
||||
<p>b의 모듈러 곱셈에 대한 역원 b<sup>-1</sup>은 대체 어떤 수인 것일까? 이 수는 다음과 같은 성질을 만족하는 정수이다.</p>
|
||||
|
||||
<p style="text-align: center;">b<sup>-1</sup> × b ≡ 1(mod X)</p>
|
||||
|
||||
<p>소수 모듈러에서만 성립하는 페르마의 소정리에 의해 b<sup>X - 1</sup> ≡ 1 (mod X)가 성립하기에, b<sup>X - 2</sup> ≡ b<sup>-1</sup> (mod X) 역시 성립함을 알 수 있다.</p>
|
||||
|
||||
<p>이해를 돕기 위해 X를 11로 두고 Q = 7/3 을 계산해보자. 3<sup>-1</sup> ≡ 4 (mod 11)이므로, Q ≡ 7 × 4 ≡ 6 (mod 11)이다. 이 Q에 3을 곱한 다음 11로 나눈 나머지를 구해 보면 7이 나오므로, 6이라는 정수가 7/3을 적절히 저장하고 있다는 것을 알 수 있다.</p>
|
||||
|
||||
<p>분수(유리수)를 이와 같은 방식으로 나타낸다면, 두 분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 mod X에서 두 정수를 가지고 계산하듯이 처리하고, 나눗셈은 나누는 분수의 곱셈에 대한 역원을 구한 후 그 역원을 mod X에서 곱하는 것으로 처리한다면, 분수를 정확히 출력하기 위해 통분을 하거나 기약분수로 만드는 골치아픈 일을 할 필요가 없어진다!</p>
|
||||
|
||||
<p>그러나 이 방법에도 문제가 있는 것은 마찬가지이다. 앞의 예에서 7/3을 6으로 저장했지만, 그냥 6/1도 6으로 저장할 것이다. 즉 서로 다른 두 분수도 모듈러 상에서 같은 정수로 저장하여, 정확한 판별을 한다는 우리의 목적에 부합하지 않는 것이다. 또다른 문제로는, 분모가 소인수로 X를 가질 때에는 역원을 계산할 수 없어서 모듈러로 나타낼 수가 없다는 점이 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 모듈러를 1,000,000,007와 같은 큰 소수로 하는데, 이를 통해 서로 다른 두 분수가 같은 정수로 나타나게 되는 확률을 낮추고, 분모가 가질 수 있는 소인수의 범위를 늘리는 효과를 볼 수 있다. 그는 이런 방식이 그래도 가장 정확한 방식이라고 생각하게 되었다.</p>
|
||||
|
||||
<p>이제 이 방식으로 M 개의 주사위가 있고, i번째 주사위가 N<sub>i</sub>면체 주사위이며, 모든 면에 적힌 숫자를 더한 값이 S<sub>i</sub>일 때, 각 주사위에 대해서 주사위를 던졌을 때 주사위의 각 면이 나올 확률이 동일하다면, 모든 주사위를 한 번씩 던졌을 때 나온 숫자들의 합의 기댓값을 구하는 문제를 해결해보자.</p>
|
||||
|
||||
<p> </p>
|
||||
</article>
|
||||
<article class="section">
|
||||
<h2>입력</h2>
|
||||
<p>첫 번째 줄에는 주사위의 수를 나타내는 정수 M(1 ≤ M ≤ 10<sup>4</sup>)이 주어진다.</p>
|
||||
|
||||
<p>다음 M개의 줄은 각 주사위의 정보를 나타내며, 이 중 i(1 ≤ i ≤ M)번째 줄에는 N<sub>i</sub>, S<sub>i</sub>(1 ≤ N<sub>i</sub>, S<sub>i</sub> ≤ 10<sup>9</sup>)가 공백으로 구분되어 주어진다.</p>
|
||||
</article>
|
||||
<article class="section">
|
||||
<h2>출력</h2>
|
||||
<p>모든 주사위를 한 번씩 던졌을 때 나온 숫자들의 합의 기댓값을 출력한다. 정확한 판별을 위해, 답을 기약분수로 나타내었을 때 a/b가 된다면, (a × b<sup>-1</sup>) mod 1,000,000,007을 대신 출력하도록 한다. b<sup>-1</sup>은 b의 모듈러 곱셈에 대한 역원이다. 이 문제에서는 가능한 모든 입력에 대해 답이 존재한다.</p>
|
||||
</article>
|
||||
<article class="section">
|
||||
<h2>힌트</h2>
|
||||
<p>모듈러가 11에서 1,000,000,007이 되어 답이 달라졌지만, 역시 3을 곱한 다음 1,000,000,007으로 나눈 나머지는 7이 된다.</p>
|
||||
</article>
|
||||
<article class="section">
|
||||
<h2>예제 입력 1 복사</h2>
|
||||
<pre class="sampledata" id="sample-input-1">1
|
||||
3 7
|
||||
</pre>
|
||||
</article>
|
||||
<article class="section">
|
||||
<h2>예제 출력 1 복사</h2>
|
||||
<pre class="sampledata" id="sample-output-1">333333338
|
||||
</pre>
|
||||
</article>
|
||||
</main>
|
||||
</body>
|
||||
</html>
|
||||
Reference in New Issue
Block a user